FUNCION MATEMATICA

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera variable (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la variable de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.

En la imagen se muestra una función entre un

conjunto de polígonos y un conjunto de números.

A cada polígono le corresponde su número de lados.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4 ,	−1 → +1 ,	±0 → ±0 ,
	+1 → +1 ,	+2 → +4 ,	+3 → +9 ,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

... ,

Estación → E ,

Museo → M ,

Arroyo → A ,

Rosa → R ,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f : X → Y

x → f(x) ,

donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f : Z → N

k → k² , o sencillamente f(k) = k² ;

g : V → A

p → Inicial de p ;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

funcion con dominio X y rango Y

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el

1

y el

4

Función cuadrática:

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x² + b x + c, donde a, b y c son números cualquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x²	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

otro ejemplo es la funcion f(x) = x² -2 x - 3.

x	-1	0	1	2	3	4
f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

Completando la gráfica obtengo:

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x² + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si f(x) = x² + 4 x + 3, entonces

y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Un resultado importante

La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x², es decir, cualquier parábola del tipo y = ax²+ bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax².

FORMAS DE RESOLVER LA ECUACION:

la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos:

x 1

x 2

-FORMULA CUADRATICA GENERAL:

un ejemplo seria:

$y = -x^2 + 4x + 5 \,$

que cortara el eje x cuando:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad -x^2 + 4x + 5 = 0 \,$

en este caso:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 (-1) 5}}{2 (-1)}$

que resulta:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-2}$

Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo:

$\Delta = 16 + 20 = 36 \,$

y por tanto tiene dos soluciones:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{-2} \quad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{-2}$

operando:

$x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{-2}$

$x_1 = \frac{2}{-2} \quad x_2 = \frac{-10}{-2}$

$x_1 = -1 \quad x_2 = 5$

Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura.

-POR FACTORIZACION:
para resolver estas ecuaciones se busca el metodo de factorizacion que se les pueda aplicar y luego de factorizarse se igualan a 0 y se despeja a x dando como resultado los 2 valores de x que necesitamos
ej:

FUNCION EXPONENCIAL:

forma general:

f(x)=e^x o exp(x)

propiedades de los exponentes:

Gráfica de la Función Exponencial

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

IMPORTANTE: hay que tener en cuenta que en estas ecuaciones la linea nunca debe toca el eje x

ecuacion exponencial:

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en un exponente

EJEMPLOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES:

Es evidente que si el primer miembro sólo tiene un término, el término del segundo miembro es potencia del término del primer miembro. Entonces igualamos el segundo miembro, expresando su término como potencia del término del primer miembro:

Luego, por la siguiente propiedad:

tenemos:

X= 3

ejemplo:

funcion logaritmica:

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.

Propiedades generales

Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre $e^u > 0\,$ (o $10^u > 0\,$ ) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer $e^u = x\,$ cuando $x<0\,$ , sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la fórmula de Euler.
El logaritmo de su base es 1. Así $\log_b b=1\,$ ya que $b^1=b\,$ .
El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así $\log_b 1=0\,$ ya que $b^0=1\,$ .
Si 0<A<1 entonces $\log_b A\,$ es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que $2^0=1\,$ , $2^1=2\,$ , $2^2=4\,$ , $2^3=8\,$ , y $2^4=16\,$ etc. Luego $\log_2 1=0\,$ , $\log_2 2=1\,$ , $\log_2 4=2\,$ , $\log_2 8=3\,$ y $\log_2 16=4\,$ etc.

EJEMPLOS:

LANZAMIENTO DE PROYECTILES

Galileo Galilei estudió y dedujo ecuaciones del tiro de proyectiles.
La trayectoria descrita por un proyectil es una curva específica llamada parábola. El tiro parabólico se puede estudiar como resultado de la composición de dos movimientos:

Uniforme a lo largo del eje X (a _x=0)
Uniformemente acelerado ( g=- 9.8) a lo largo del eje vertical Y.

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v_0, que forma un ángulo q con la horizontal. Las componentes de la velocidad inicial son :

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que es el movimiento resultante de la composición de dos movimientos:
uniforme a lo largo del eje X.
uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

ECUACIONES:

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y.=.ax² + bx + c, lo que representa una parábola.